FALSAFAH MATEMATIK (ABDUL LATIF SAMIAN)

     DARI BUKU FALSAFAH MATEMATIK OLEH ABDUL LATIF SAMIAN

BAB 1  FALSAFAH DAN MATEMATIK

Ø Falsafah yang bermaksud ‘cinta kepada kebenaran’ erti kata setiap falsafah matematik mempunyai kebenaran masing-masing dalam pendapat mereka dan kajian .Sarjana Islam seperti  Ibn Sina ,al-Kindi, al-Haytham dan al-Farabi mereka mencintai kebenaran dengan mencari ilmu sebanyak mungkin sejak peringkat awal persekolahan di madrasah-madrasah mereka mendapat pendidikan aritmetik dan geometrik.Di Eropah pengajian falsafah sangat menekankan pendekatan analisi seperti Descartes,Immanuel Kant, Nietchze dan Russell. Manakala di Amerika Utara ahli falsafah Popper,Thomas Kuhn ,Ernst Mach dan Nagel  menekankan pendekatan analisis itu telah jauh ketinggalan zaman dan tidak wajar diiktiraf sebagai dapat mengisi pengertian falsafah dewasa ini. Mereka beranggapan perbincangan tentang perkara-perkara yang memerlukan daya spekulasi yang cukup tinggi. 

Ø Pengertian falsafah akan berubah zaman ke zaman , seperti dulu zaman penerimaan tetapi zaman sekarang zaman mengkritik. Oleh itu kene fokus kepada metafizik ,etika ,logik dan epistemologi supaya pengertian itu seimbang dengan perubahan semasa. Metafizik gabungan meta dan fizik , meta bererti melampaui dan fizik adalah deria luaran.Ilmu metafizik tidak dapat disentuh ia menunjukkan sifat-sifat Maha pencipta antaranya ilmu tasawwur (hubungan antara manusia dan tuhanNya)serta tidak dapat dibuktikan seperti virus,proton dan kuar. Etika bererti adat atau watak ,perwatakan seseorang juga dapat mempengaruhi persekitarannya. 

Ø Logik salah satu cabang falsafah kerana instisari berfalsafah ialah aktiviti berfikir dan berhujah dengan kritis dalam usaha mencari kebenaran dan tidak ada bidang ilmu yang khusus mengkaji tatacara penghujahan selain bidang logik.Epsitemologi adalah ilmu pengetahuan erti kata pendapat sesorang bagaimana mereka berfikir yang tajam,kritis dan mendapat petunjuk daripada Tuhan . 

Ø Metologi ilmu falsafah bererti aktiviti berfikir dengan dihuraikan dengan lebih lanjut. Bagi mengertahui seseorang ahli falsafah berfikir haruslah mempunyai aspek petanyaan yang mendalam aspek-aspek yang merangkumi metafizik,epistemologi ,logik dan etika .Tetapi di alam maya ini wujud Maha Pencipta jadi setiap pemikiran yang logik ada batasannya. Ahli falsafah mempercayai bahawa tidak ada ilmu yang sampai ke penghujungnya . Erti kata setiap ilmu sentiasa terbuka tidak muktamad kerana ahli-ahli falsafah mengambil sikap bahawa mereka sangat memerlukan panduan dalam bentuk kitab suci agama masing-masing. 

Ø Hubungan antara falsafah dengan matematik adalah kepentingan falsafah kepada ilmu matematik yang berlandaskan kepada matematik sehingga perlu dilakukan kajian falsafah matematik yang merupakan gabungan jalin antara falsafah dengan matematik. Ilmu matematik diletakkan di atas bidang-bidang sains tabii itu kerana ilmu matematik dari segi tabiinya bersifat antara displin . Semua bidang ilmu mesti memiliki sedikit sebanyak matematik , sama ada dalam sains hayat , fizik ,sosiologi ,bahasa ,ekonomi ,politik ,geografi, antrolopogi,psikologi maupun pendidikan. Tidak ada bidang ilmu yang tidak menggunakan langsung ilmu matematik .Kedudukan matematik yang istimewa ini menunjukkan bahawa jika dibandingkan matematik dengan ilmu-ilmu lain, ilmu matematiklah yang paling hampir dengan falsafah .      

Ø Dalam bab ini menegaskan pendapat bahawa matematik tidak memerlukan falsafah kerana pendapat yang bertolak dari kefahaman yang kabur tentang pengertian dan aktiviti berfalsafah . Ini kerana matematik memerlukan penglibatan nombor yang sewajarnya wujud dan nyata yang boleh digambarkan kepada ilmu-ilmu matematik .Banyaknya kesamaan antara aktiviti bermatematik dengan aktiviti berfalsafah dalam mengasah pemikiran seseorang supaya menjadi lebih kritis dan jitu . 

BAB 2 STATUS ILMU MATEMATIK,

Ø Pengertian matematik amat pengting kerana menjadikan subjek kajian falsafah dalam ilmu matematik . Mengenali ilmu matematik dengan lebih dekat dengan mengetahui asal usul matematik dengan perbagai cara. Pertama sekali mengetahui bahasa yang perbagai didunia ini . Dalam bahasa Inggeris isitah mathematics itu berasal daripada bahsa Latin mathematicus. Mathematicus berasal dari bahsa Latin dimana bahasa Yunani mathematikos. Mathematikos yang berpunca dariada istilah manthanein yang bermaksud ‘mempelajari’. Istilah manthanein ‘ketepatan yang jitu ‘ dan ‘keyakinan’. 

Ø Adanya sifat kejituan yang pasti ini dapat membezakan ilmu matematik dengan bidang-bidang ilmu yang lain . Dibandingkan dengan ilmu lain seperti geografi dan usul al-fiqah , mathematics ini boleh dinamai ‘ilmu pasti’ . Sifat ‘pasti ‘ yang ada pada matematik berkaitan dengan kaedah deduksi yang dinyatakan selain hubungan akrab bidang ilmu matematik dengan nombor .  

Ø Alam matematik ialah sebahagian alam idea yang wujud yang objektif sifatnya, dan bebas daripaada pemikiran manusia. Oleh sebb itu alam matematik ialah alam yang benar-benar wujud dan bukannya alam benda. Maka plato berpendapat rahsia alam benda hanya boleh diketahui melalaui matematik. Sebarang kebenaran asas dalam matematik seperti satu sama dengan satu dan satu tidak sama dengan dua adalah benar sejak azali lagi .

Ø Ilmu matematik mendapat tempat istimewa dalam teori Islam berkenaaan hierarki ilmu. Al-Kindi yang banyak menulis tentang nombor ,misalnya meletakkakn matematik sebagai ilmu antara ilmu ketuhanan dengan falsafah tabii. Al-Biruni,al-Amili, al-farabi, dan Ibn Sina menganggap bahawa ilmu matematik seperti ilmu perantaraan antara the sensibles dengan the intelligibles (Prof.Osman,1992).

Ø Kebanyakan ahli-ahli matematik mengkaitkan matematik dengan agama ,kurun ke-19 selepas kurun ke 20 bertukar ahli -ahli matematik Eropah cube mengolak pengertian matematik dengagn perrubahan semasa tanpa sebarang panduan agama. Kesan perubahan status matematik sangatlah besar terutamanya dalam orientasi matematik yang dihasilkan . 

Ø Apabila berlaku perubahan ini berlakunya penyebab musabab berubahnya status matematik. Ini kerana anta ahli-ahli matematik yang tidak mempercayai ketuhanan terutamanay yang beragama Kristian . Jadi wujudnya kesan dualisme Descartes terhadap fikiran manusia zaman Pembaharuan Renaissance dan Zaman Kecerahan di Eropah sangatlah besar. Dualisme Descartes mengenyahkan faktor alam bukan benda yang ada pada matematik dalam tamadun Islam dan kemudiannya matematik Eropah ketika itu. 

Ø Perkembangan matematik di Malaysia juga mengalami beberapa tahap yang pernah dilalui oleh perkembangan matematik dahulunya di Eropah. Di sebabkan masyarakat menerima bulat-bulat  ilmu matematik daripada mereka ia adalah masalah matematik yang dipangil areligious,sebagai orang muslim mempercayai Islam dan ilmu dapat disatukan .Disebabkan masyarakat menerimanya sebagai ilmu yang seolah-olah terpisah daripada segala kepercayaan dan budaya kehidupan tempatan. 

BAB3  PEMATEMATIKAN

Ø Permasalahan wujud apabila perubahan kefahaman terhadap matematik ,kerana matematik adalah sebahagian aktiviti berfikir .Jika sesorang mematematikan tingkah laku manusia dalam sesuatu keadaan ataupun kecondongan sebatang pokok dari bumi ia jugak diperkatakan sebagai mematematikkan alam . Mungkin masalah ialah sesuatu yang memerlukan penyelesaian tetapi ada juga kurang tepat kerana ada masalah yang telah diselesaikan tetapi masih lagi menjadi masalah. 

Ø Tidak ada manusia yang dapat hidup bebas daripada manusia lain ataupun sekitarnya. Manusia sentiasa dipengaruhi oleh budaya tempatan, agama  dan pandangan hidup masing-masing . Dari perspektif ini menunjukkan manusia fikiran manusia tidak juga bebas sepernuhnya kerana fikiran manusia dibatasi ,iaitu dipengaruhi oleh faktor dalaman seperti suasana sosiopolitik dan pengaruhh rakan sebaya..

Ø Sebaliknya ada masalah yang menjadi masalah matematik utama dalam tamadun matematik Islam yang langsung tidak ada masalah dalam tamadun matematik yang lain. Contohny sarjana-sarjana matematik Islam berusaha bersungguh-sungguh dalam setiap zaman untuk menyelesaikan masalah matematik mencari arah kiblat. Arah ini penting kerana dalam kehidupan harian orang Islam , banyak aktiviti mereka yang berkaitan dengan arah kiblat selain arah dalam sembanhyang . 

Ø Sebaik-baiknya mereka perlu tahu arah kiblat dalam membina rumah,tandas, ketika hendak tidur dan semasa mahu berdoa. Kaitan ini menunjukkan ilmu matematik telah diterap dalam setiap ibadat bagi orang Islam .Bentuk permasalahan boleh diselesaikan dengan cara yang betul mengikut kepercayan dan tujuan masing-masing. 

Ø Tujuan sesuatu masalah diselesaikan memerihalkan kepentingan masalah itu untuk ditangani . Hidup dipenuhi dengan aktiviti menyelesaikan masalah tetapi terdapat tak terhingga banyaknya  masalah dalam dunia ini, sedangkan hayat sesorang didunia ini adalah terhingga. Kesan masalah apabila difikirkan segala penyelesaian masalah . 

Ø Kesan terbahagi kepada dua dalaman dan luaran , jika masalah luaran seperti yang telah dijelas di atas tentang arah kiblat . Kesan dalaman ini melibatkan perbezaan antara matematik zaman kini dengan matematik Islam . Matematik Islam disini merujuk pada matematik sebagaimana yang diramalkan dalam tradisi keilmuan Islam sekitar 800 hingga 1400 M .

Ø Kesan dalaman ini dapat memberi kesan rohani yang menyelami riak gelombang sifat-sifat kebesaran Allah S.W.T. Sekali gus dapat membentuk sifat ketakwaan terhadap Maha Pencipta serta diri mereka . Sebenarnya penderia dalaman adalah lebih peka untuk menerima perincian dalam permatematikan . 

Ø Kebanyakan penyelidikan tentang pematematikan ketika ini dinaungi oleh International Comission on Mathematics Instruction (ICMI) dan dijalankan oleh International Group for the Psychology of Mathematical Education (IGPME) yang selalunya dikenali sebagai kumpulan Psychology of Mathematical Education (PME) .Terdapat beberapa teori tentang pematematikan seperti teori binaan,teori intuisi dan teori pemprosesan maklumat. 

Ø Teori-teori permatematikan yang diperjuangkan oleh PME berpunca daripada aliran falsafah matematik semasa yang dihayati oleh kebanyakan ahli matematik ,iaitu aliran intuisisme , logikisme dan formalisme.

BAB4  LOGIKISME

Ø Pada tahun 1850 munculnya aliran falsafah iaitu dikenali sebagai fahaman logikisme dimana kefahaman kearah logik . Ahli falsafah matematik Leibniz mengkaitkan antara agama dengan logik matematik ,manakala Richard Dedekind (1831-1961) mula membayangkan kepertingan logik pada matematik. 

Ø Manakala Frege mengkaji sifat matematik , sebenarnya alam sekeliling mempunyai dan terdiri dengan sifat-sifat matematik seperti ‘semua orang bujang tidak kahwin’ ia menunjukkan penglibatan sifat-sifat matematik .Malahan Frege berpendapat pernyataan matematik bukan sekadar analitis tetapi juga a priori analitis . Kebenaran matematik tersirat dalam logik . 

Ø Russell sependapat dengan frege matematik berkait dengan logik seperti yang telah digariskan oleh Russell dan Alfred North Whitehead dalam bukunya Principles of Mathematics(1903) . Menurut Kline(1980) teori penjenisan yang dikemukakan oleh Russell dan Whitehead ini menimbulkan beberapa masalah apabila digunakan untuk menerangkan beberapa konsep matematik.

Ø Antara masalahnya dalam penggunaan teori penjenisan ini menyukarkan penaakulan matematik dala teori nombor.Russell dan Whitehead memperbaiki serta memwujudkan teori hubungan antara nombor nyata.Russell cube menunjukkan bahawa kesemua matematik boleh dibina berrlandaskan prinsip-prinsip logik.

Ø Quine berpendapat Russell dan Whitehead tidak menunjukkan bahawa bidang-bidang matematik yang tidak bersandarkan aritematik boleh diturunkan kepada logik.Kritikan diajukan logikisme akibat daripada penggunaan kaedah implikasi kebendan .Logikisme adalah bersandarkan pada kebenaran aksiom-aksiom yang dianggap oleh Russell dan Whitehead sebagai aksiom logik. 

BAB5  INTUISISME 

Ø Rene Descartes seorang ahli falsafah yang terkenal dalam sejarah pemikiran yang menekankan aspek dualisme dalam kewujudan. Menurut Descartes segala realiti terbahagi kepada dua iaitu roh dan jasad. Roh ciri berfikir manakala jasad perkembangan. Descartes berpendapat maksud intuisisme ialah penekanan terhadap aktiviti berfikir.beliau turut menyatakan pengetahuan itu sebagai hasil daripada aktiviti mental manusia . Oleh yang demikain ilmu pengatahuan seseorang itu lebuh bersifat peribadi , bergantung pada pengalaman pemikiran dalaman masing-masing. 

Ø Manakala Pascal menyatakan ia adalah ‘rasa hati’ dalam penyelesaian masalah. Immanue Kant(1724-1804) percaya intuisisme adalah sumber dari kebenaran asasi daripada aktiviti akal. Punca sebenarnya ilmu ialah aktiviti dalaman akal ,aktiviti luaran menolong sesorang mendapatkan ilmu tp akalah yang memproses maklumat daripada dunia luaran.  

Ø Kronecker dan Poincare sependapat bahawa nombor adalah berteraskan intuise manusia , oleh itu nombor bersandar sepenuhnya pada intuise manusia. Kronecker mempunyai anak didiknya Luitzen E.J .Brouwer(1881-1966) percaya matematik ialah aktiviti yang berlegar di sekitar minda manusia. Brouwer menyatakan pemikiran matematik tidak lain adalah daripada proses binaan mental. Setiap teorem matematik ialalh hasil binaan yang berdasarkan intuisi primitif manusia, iaitu intuisi berkenaan jujukan nombor asli .

Ø Kant dan Brouwer sependapat matematik bukan analitis tetapi ilmu sintetik . Program unutk menunjukkan bahawa hakikat matematik ialah intuisi semestinya melibatkan pembinaan nombor asli .Brouwer bertentang pendapt dengan Cantor yang menyatakan nombor wujud set yang tidak terhingga tapi bagi Brouwer pula kewujudan set yang tidak terhingga hanyalah di peringkat potensi. Brouwer menyatakan matematik bukanlah logik, beliau tidak menidakkan kepentingan logik kepada matematik. 

Ø Kemudian munculah pengkritik seperti Hilbert dan Paul Bernays(1888-1978) ,mereka berpendapat matematik adalah ciptaan manusia tetapi matematik boleh ditentukan secara objektif dan bukan bergantung pada swapembuktikan akal manusia kerana akal manusia tidaklah sempurna.

Ø Brouwer berhujah beliau tidak mementingkan penggunaan matematik sungguhpun beliau percaya bahawa pemikiran matematik merupakan aktiviti manusia sepenuhnya .Sikap Brouwer terhadap hubungan antara bahasa dengan matematik juga menerima kritikan. 

Ø Walaubagaimana pon ada kajian yang menyokong hujah Brouwer ,Jacques Hadamard menerbitkn bukunya The Psychology of Invention in Mathematical Thinking(1945) ,beliau menyatakan bahawa kebanyakan ahli matematik hanya menggunakan imej yang kabur dan bukannya ‘bahasa’ sewaktu mereka berkarya,terutamanya apabila membuat penemuan-penemuan baru, malahan bahasa hanya digunakan untuk menyampaikan penemuan-penemuan baru itu. 

Ø Intuisisme membina matematik berasaskan konsep-konsep yang jelas dan berteraskan kepercayaan mereka bahawa hakikat matematik ialah intuisi manusia. 

BAB6  FORMALISME

Ø David Hilbert menekankan kepentingan pembuktian kekonsistenan matematik. Beliau juga mengkritik golongan logikisme tentang pentakrifan set dan sifatnya , fungdi ususlan dan jenis-jenis teori memerlukan aksiom penurunan. Beliau turut menyuarakan bahawa sesuatu kesimpulan matematik bukan hanya berfikir mengikut logik sahaja sebagaimana yang disarankan  oleh logikisme. Matematik bukanlah berasaskan logik,tetapi berasaskan autonomi displine,dalam erti kata bahawa setiap cabang aksiom mestilah berpadanan dengan kedua-dua logik dan matematik. 

Ø Bagi menghindarkan kekaburan bahasa dan penggunaan yang hanya berdasarkan pengertian intuisi dan untuk mencapai ketepatan pembuktian yang objektif. Hilbert telah memutuskan bahawa semua pernyataan logik dan matematik mestilah dalam bentuk simbolik.

Ø Hubungan sistem formal dengan nombor ada aksiom nombor yang bersesuain dengan program Hilbert.Hilbert menyatakan tidak boleh menjangkakan semua implikasi aksiom. Menurut golongan fornalis, idea asas matematik boleh difahami melalui analogi. 

Ø Jika sesorang itu ingin mangkaji kebenaran atau pengertian bahasa Jepun, maka untuk mengkajinya dalam bahasa Jepun akan mempengaruhi analisis sebab bahasa Jepun merupakan subjek yang dibataskan oleh bahasa Jepun sendiri. Bahasa Inggeris merupakan bahasa yang tepat,maka sesorang itu boleh mengunakan bahasa Inggeris untuk mendapatkan pengertian bahsa Jepun. 

Ø Hilbert telah menamakan pembuktikan konsep dan kaedah matematiknya sebagai kaedah keterhinggaan .Russell tidak bersetuju dengan Hilbert ,beliau beranggapan konsep ini berunsurkan metafizik .Walaupon Hilbert dikritik beliau tetap meneruskan dalam gerakan pengasaskan formalisme.

Ø Pada tahun1978 ,Kurt Godel menemukan matematik yang memberi kesan yang besar pada aliran formalisme. Godel menwujudkan formula sendiri dengan menamakan teori Godel iaitu ‘penomboran Godel’. 

Ø Rumus Godel buat mengunakan pendekatan pemetaan. Langkah menunujukkan bahawa setiap pernyataan matematikk berkenaan dengan kalkulus boleh digambarkan dalam kalkulus sendiri,iaitu pernyataan dalam kalkulus sentiasa boleh diwakili dengan satu nombor tertentu iaitu satu pernyataan matematik berkenan dengan kalkulus boleh dibina. 

Ø Kritikan demi kritikan diberikan kepada Godel kerana mengajukan aliran formalisme akibat daripada teori Godel . Segala usaha Godel tidak berpanjangan selepas kematian Hilbert ,hanya segelintir pengikut-pengikut seperti Ackermann dan Neuman yang masih memperjuangkan aliran fahaman ini. 

BAB7  PEMATEMATIKAN NOMBOR MELAMPAUI TERHINGGA

Ø Ketakterhinggaan adalah suatu nombor dimana nombor yang tidak terbatas. Dalam bahasa Yunani apeiron maksudnya adalah tidak terbatas, tidak tepat,tidak boleh ditakrifkan dan tidak teratur.Pythagoras berpendapt bahawa setiap pernyataan alam boleh diturunkan kepada persamaan matematik yang melibatkan pengaturan nombor asli yang tidak terhingga. 

Ø Georg Cantor (1945-1918) mempunyai Ijazah teori nombor, telah mengkaji bidang analisi dan menemui konsep tak terhingga .Beliau percaya bahawa konsep takterhingga ini alah asas jawapan bagi semua persoalan tentang had, penumpuan dan keselanjaran fungsi . 

Ø Cantor telah memperkenalkan konsep nombor kardinal kepada dunia pada tahun 1874 serta membuktikan terdapat lebih nombor transenden daripada nombor algebra.Cantor memperkenalkan teori nombor ordinal,teori nombor kardinal,nombor ordinal, ketaksamaan dan nombor ordinal.

Ø Cantor juga membuktikan prinsip aruhan melampaui terhingga menggunakan kaedah percanggahan serta menunjukkan hubungan antara nombor kardinal dengan nombor ordinal.

Ø Pematematikan nombor melampaui terhingga menunjukkan bahawa segala -galanya yang terfikir oleh manusia dan yang boleh diwakili oleh nombor boleh dimatematikkan , maka menunjukkan  perkara-perkara yang tak tehingga sifatnya.

Ø Dalam aspek teologi tidaklah airan jika menyatakan bahawa Tuhan itu Maha Agung, Tuhan itu sentiasa lebih Agung daripada segala sifat keagungan yang terfikir oleh manusia. Begitu juga dengan fikiran manusia sentiasa ada batasan walaupun berfikir secara tak terhingga kerana sentiasa ada ketakterhingga yang lebih daripada ketakterhinggaan yang terfikir oleh manusia. 

Ø Manusia tidak boleh berfikir secara terhingga kerana berfikir tentang sesuatu yang terhingga sifatnya,seperti sesuatu ruang atau jangka masa ,manusia sentiasa sedar tentang adanya ruang ataupun masa yang lebih besar .

Ø Ketidakupayaan untuk berfikir dengan terhingga mutlak menunujukkan bahawa ‘fikiran’ itu bukanlah otak sahaja kerana jangka hayat otak adalah terhingga.’Fikiran’ itu berkait rapat dengan kewujudan sesuatu yang lebih halus daripada otak , iaitu ‘roh’ seperti dipercayai oleh penganut Islam,Kristian dan Yahudi. 

BAB8  MASALAH KETAKTERHINGGAAN

Ø Banyak perbalahan mengenai masalah ketakterhinggaan seperti ahli -ahli matematik mengkaitkan ketuhanan,emosi , dan alam sekeliling. Apeiron dari perkataan Yunani yang bermaksud makna tak terhingga .Apeiron merupakan suatu konsep yang negatif dan pejoratif sifatnya. Seperti Phythagoras dan Plato tidak lansung menerima apeiron. 

Ø Antara masalah ketakterhinggaan adalah sebarang garis yang mempunyai banyak titik , disebabkan perimeterr bagi bulatan yang berjejari dua ialah dua kali ganda perimeter bulatan berjejari satu, maka bulatan berjejari dua mengandungi ketakterhinggaan lebih banyaknya titik jika dibandingkn dengan bulatan berjejari satu.Galileo Galilei(1600) mencadangkan suatu jarak yang kecil boleh dijadikan besar dengan menambahkan tak terhingga yang ada pada jarak yang kecil.

Ø Akhirnya Cantor berjaya menunjukkan wujudnya darjah-darjah ketakhinggaan . Mengimplikasikan bahawa cuma dapat satu ketidakhinggaan dan tidak boleh dicapai tapi bersifat abstrak , Cantor manganggap ketakterhingga ini sebagai ketakterhinggaan mutlak. 

Ø Jenis-jenis kerakterhingga yang mula menjadi masalah bagi ahli-ahli matematik memikirkannya adalah ketakterhinggaan fizikal, ketakterhinggaan ruang, ketakterhinggaan kecil, ketakterhinggaan berbentuk ingatan, dan ketakterhinggaan mutlak. 

Ø Ketakterhinggaan fizikal Aristotle memberi andaian seperti manusia tidak akan mati setiap generasi menghasilkan generasi ialah potensi kepada ketidakterhinggaan fizikal. Manakala keterhinggaan ruang Immanuel Kant memberi contoh seperti dunia yang berisikan ruang seadanya,gabungan bahagian-bahagian dunia tak terhingga dilihat sebagai suatu yang sempurna, iaitu suatu masa tak terhingga dilihat sebagai masa berlalu semasa pengiraan terhadap benda-benda yang wujud sekali gus. 

Ø Ketakterhinggaan kecil membincangkan satu titik tidak mempunyai kepanjangan, maka tiada jujukan nombor terhingga yang dapat membentuk suatu temberang garis. Manakala ketakterhinggaan berbentuk ingatan melibatkan pemikiran idea dan bentuk . 

Ø Fikiran seseorang itu seharusnya tak terhingga kerana gambaran sesuatu merupakan sesuatu yang hadir dalam fikiran seseorang dan dalam sesuatu gambaran terkandung pula suatu gambaran yang lain. Menurut ahli matematik yang mengkaji teori set, rangka fikiran ialah set yang tak terhingga.

Ø Ketakterhinggan mutlak adalah kosmos dan kelas bagi semua set digelar oleh ahli falsafah.Mutlak yang bermaksud wujud secara tersendiri dan ia merupakan darjah kelengkapan yang paling tinggi. Pengetahuan boleh diperoleh melalui cara rasional dan secara ilham. Dari segi pemikiran yang rasional,sesuatu yang’mutlak’ merupakan sesuatu yang tidak dapat difikirkan . 

Ø Kesimpulannya ketakterhinggaan boleh difahami melalui analisis matematik.Kebanyakan ahli-ahli matematik bersetuju dengan konsep-konsep yang telah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik yang lain maka wujudlah ketidakhinggaan dalam matematik yang bersimbol seperti lapan terrbalik.

BAB9  DAMPAK FALSAFAH MATEMATIK TERHADAP PERKEMBANGAN    PENDIDIKAN MATEMATIK 

Ø Kesan amat mendalam terhadap falsafah setiap bidang ilmu pengetahuan pada sekitar 1800M di mana permisahan antara teologi dengan falsafah tabii di Eropah Barat.Ini kerana agama diketepikan dalam semua bidang ilmu terrmasuklah kima,sains hayat,fizik dan dalam dunia matematik juga berlaku. 

Ø Dalam matematik tiga aliran yang amat penting intuisisme,logikisme dan formalisme . Golongan intuisisme berpendapat bahawa matematik ialah aktiviti mental,iaitu tidak wujud alam matematik diluar daripada aktiviti mental ahli matematik. Kedua golongan formalisme mempunyai pendekatan yang berbeza dengan golongan intuisisme dalam menangani masalah pendidikan matematik,formalisme hanya mementingkan aspek simbol dalam matematik.

Ø Ketiga golongan logikisme menekankan kekonsistenan formal kerana tidak percaya hakikat matematik ialah kekonsistenan yang pada sesuatu sistem formal itu. Seperti penganut-penganut aliran intuisisme mereka percaya bahawa aktiviti bermatematik ialah aktiviti pemikiran dalaman sepenuhnya. 

Ø Kewujudan realisme dan instrumentalisme kerana hubungan antara teori-teori matematik dengan dunia luar adalah berbeza. Golongan realisme percaya kewujudan alam matematik yang bebas berfikir mempunyai objek-objek matematik seperti nombor ,garis, titik dan segi empat .seperti teori elektromegnet mengungkapkan bahawa memang ada medan elektrik dan medan magnet yang bertindak mengikut persamaan Maxwell.boleh dikatakan golongan ini percaya kepada matlamat sains matematik .

Ø Golongan instrumentalisme membezakan antara konsep yang digunakan pada fenomena-fenomena dengan konsep-konsep teoritis. Golongan ini berpendapat panet dan sinaran cahaya sebagai contoh sememangnya wujud tetapi elektron,medan magnet dan model matematik Ptolemy hanyalah tidak lebih daripada rekaan ahli matematik. 

Ø Jika dilihat ahli-ahli matematik di Malaysia tidak terlalu fanatik seperti ahli-ahli  matematik Barat ,. Ini kerana mereka fahaman kearah utilitarianisme dan konvensionalisme dimana seiring dengan membangunan wawasan 2020. 

Ø Setiap masalah matematik mempunyai punca penyelesaian seperti manusia jika manusia mempunyai masalah punca penyelesaian pertama akan mencari kepercayan kepada Tuhan . Dalam matematik jika berkait dengan pelajar masalah dalam matematik bergantung kepada ahli matematik tahap kepakaran seseorang dalam matematik atau rujukan ilmiah-ilmiah yang kurang merangsangkan . 

Ø Aryabatha,al-Biruni,Poisson,Newton ,Leibniz,Cantor,Hermann wely dan lain-lain adalah ahli matematik yang mempunyai kepercayaan sendiri selepas abad ke 20 zaman matematik keTuhanan tidak lagi dikaitkan ,pemisahan aktiviti agama dengan aktiviti matematik. 

Ø Kesan dalam ialah dampak mematematikkan masalah kepada ahli matematik sendiri. Ada berbagai-bagai jenis kesan dalaman yang timbul antaranya ahli matematik itu mungkin berpuas hati kerana dapat menyelesaikan tugasnya secepat mugkin dan mungkin gembira kerana dapat menolong mangsa kemalangan atau mungkin bersyukur kepada Tuhan kerana dapat menyempurnakan tanggungjawab yang diamanahkan kepadanya.

Ø Kesimpulan dalam bab ini realisme dan instrumentalisme Barat tidak sesuai dibawa ke Timur.Kerana peradaban Timur berbeza dengan peradaban Barat. Terutamanya tentang kesimbangan antara aspek material dengan kerohanian jauh berbeza dengan peradaban Timur.  

KESIMPULAN 

Ø Buku ini menerangkan status ilmu matematik dimata berlainan agama dan tanggapan mereka . Perubahan kedudukan dan maksud bidang ilmu yang dinamai matematik ini berubah dengan peredaran zaman . 

Ø Tidak ada takrif tentang matematik yang benar-benar komprehensif dan sesuai untuk semua tempat dan masa. Perubahan berlaku disebabkan faktor-faktor luaran dan dalaman . Walaubagaimana pun matematik masih berasaskan konsep-konsep asas berkaitan dengan nombor dan geometri dan aktiviti peniskalaan

Ø Russell sendiri mengalami kepahitan dengan kenyataanya yang terkenal, iaitu “ matematik ialah satu-satunya bidang ilmu yang kita tidak akan tahu apa sebenarnya yang kita cakapkan dan sama ada perkara yang dicakapkan itu benar”. Hakikatnya matematik adalah logik yang bole diterima alam semula jadi kerana kewujudan matematik membantu manusia mengaplikasikan sesuatu masalah dengan penyelesaian yang mudah . 

Ø Instuisisme membina matematik berasaskan konsep-konsep yang jelas dan berteraskan kepercayaan mereka bahawa hakikat matematik ialah intuisi manusia .

Ø Kritikan yang diajukan kepada aliran formalisme akibat daripada teori Godel ini telah menyebabkan aliran fahaman kini semakin terpinggir. Selepas kematian Hilbert , hanya segelintir pengikut-pengikutnya seperti Ackermann dan Neumann yang masih memperrjuangkan aliran fahaman ini. 

Ø Pematematikan nombor melampui terhingga menunjukkan bahawa segala -galanya yang terfikir oleh manusia dan yang boleh diwakili oleh nombor boleh dimatematikkan , maka perkara-perkara yang tak terhingga sifatnya . 

Ø Pematematikan terhadap nombor-nombor melampui terhingga ini juga menunjukkan bentuk hubungan yang menarik anta perkara -perkara yang tak terhingga. Hal ini tidak semestinya sama antara satu set yang tak terhingga dengan set tak terhingga yang lain. 

Ø Kebanyakan buku ini menceritakan pendapat ahli-ahli falsafah dan konsep-konsep matematik zaman dahulu yang mengunakan . Perkaitan agama dengan matematik juga dikaitkan dalam buku.

Ø Pendekatan pendidikan matematik semasa yang berteruskan realisme ataupun instrumentalisme Barat tidak begitu sesuai dengan peradaban timur. 

Ø Hakikatnya perbezaan pengertian matematik di negara Barat tentang pembangunan memang antara aspek material dengan kerohanian yang diperkatakan. Lantaran itu , sudah sewajarnyalah pengisianya dalam segala cabang pendidikan sains matematik juga berbeza , apatah lagi dalam ilmu matematik yang tersohor sebagai ibu kepada bidang-bidang ilmu sains .

PANDANGAN

1. KEPENTINGAN KEFAHAMAN KONSEP

Ø Konsep pemahaman yang berkesan dapat meningkatkan daya ingatan sesorang pelajar , dari segi penyelesaian masalah matematik .Menurut Meissner (1983) menyatakan kefahaman perkaitan merupakan kunci kejayaan pelajar dalam mata pelajaran matematik. 

Ø Kebiasaanya sesuatu konsep yang diperlajari pada awalnya agak kabur dan akan berunsur cerah dan jelas setelah ianya difahami . Ia amat bergantung kepada pengalaman yang dialami oleh sesorang pelajar serta tahap kematangannya dalam berfikir .

Ø  Kebanyaknya pelajar yang mengalami masalah terdiri daripada golongan yang mempunyai kurang pengalaman hidup ataupun belum mencapai tahap kematangan yang diperlukan dan ini membawa kepada pelbagai bentuk persepsi serta andaian yang salah dalam proses pengajaran dan pembelajaran . 

2. KAEDAH PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN YANG BERKESAN 

Ø Model pembelajaran matematik terdahulu yang menekankan belajar mengikut ingatan merupakan satu model yang kurang berstruktur . Mengatasi kelemahan ini adalah kaeedah pengajaran matematik iaitu pengajaran dan pembelajaran yang berpaksikan kefahaman konsep digunakan sebagai satu penggerak atau mekanisma penyampaian digunakan. 

Ø Dengan adanya kemunculan calon-calon guru dan pensyarah yang berteraskan pendidikan dapat memberi lebih kaedah pengajaran dan pembelajaran yang baru yang dapat diberikan kepada pelajar-pelajar kerana sistem pembelajaran akan berubah-ubah semasa ke semasa. 

3. IMPLIKASI FALSAFAH BARAT KE ATAS PENDIDIKAN DI MALAYSIA 

Ø Dasarnya falsafah pendidikan progressiveme tidak diamalkan sepenuhnya di Negara ini, tetapi secara tidak langsung dapat melihat perkaitannya dengan falsafah pendidikan kebangsaan iaitu untuk mewujudkan masyarakat yang maju dan berilmu . 

Ø Di dalam falsafah pendidikan juga menggalakkan pelajar agar mempunyai sikap yang kretif dan inovatif kerana kajian penyelidikan saintifik dipupuk secara meluas dan menyuluruh .

Ø Menggalakkan pelajar agar mempunyai sikap yang kretif dan invotif agar dapat menyumbang dalam perkembangan teknologi Negara. 

4. PANDANGAN EKSISTENSIALISME 

Ø Mengutamakan pembelajaran kendiri dan bukan mencarii ilmu pengetahuan sahaja. Pengorbanan dalam individualiti memperolehi ilmu pengetahuan amat dititik beratkan bagi pembelajaran yang berkesan 

Ø Fokus kurikulum hendaklah dipindahkan kepada perkara alam dunia personaliti ini kerana kurikulum eksistensialisme mementingkan kebebasan berdasarkan minat pelajar sendiri menunujukkan tiadda paksaan .

Ø Sepatutnya bahan pembelajaran ,cara pembelajaran , kualiti pembelajaran dan nilai pembelajaran hendaklah ditentukan oleh pelajar itu sendiri kerana pelajar itu yang akan menerima ilmu yang akna diajar. 

Ø Pelajr juga harus mendidik diri ddlam pembangunan diri serta memajukan diri dalam pembelajran matematik . 

5. FALSAFAH PENDIDIKAN KEBANGSAAN 

Ø Penggubalan falsafah pendidikan kebangsaan menjadikan penyuluh dan pedoman kepada segala usha mengembangkan dan meemajukan pendidikan . 

Ø Dasar dan perkembangan asas bagi menentukkan matlamat pendidikan Negara dan sebagi rujukan untuk membantu pendidik dalam memahami sistem pendidikan Negara serta meghapuskan salah faham dan keraguan dalam melaksanakan tugasan pendidikan .